【函数单调性的求法和步骤】函数的单调性是研究函数在定义域内变化趋势的重要性质，它可以帮助我们理解函数的增减情况，是数学分析中的基础内容之一。掌握函数单调性的判断方法，对于解决实际问题、优化问题以及进一步学习导数与微积分都有重要意义。
以下是对函数单调性求法和步骤的总结，便于快速查阅和应用。
一、函数单调性的基本概念
- 单调递增：在某个区间上，若当 $ x_1 < x_2 $ 时，总有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $，则称该函数在该区间上单调递增。
- 单调递减：在某个区间上，若当 $ x_1 < x_2 $ 时，总有 $ f(x_1) \geq f(x_2) $，则称该函数在该区间上单调递减。
- 严格单调：若不等式中使用的是严格不等号（即 $ < $ 或 $ > $），则称为严格单调。
二、函数单调性的求法和步骤
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 确定定义域 | 首先明确函数的定义域，因为单调性只在定义域的子区间内讨论。 |
| 2. 求导数 | 对函数 $ f(x) $ 求导，得到导函数 $ f'(x) $。导数的符号决定了函数的单调性。 |
| 3. 分析导数符号 | - 若 $ f'(x) > 0 $，则函数在该区间上单调递增； - 若 $ f'(x) < 0 $，则函数在该区间上单调递减； - 若 $ f'(x) = 0 $，则可能为极值点或拐点，需进一步分析。 |
| 4. 找临界点 | 解方程 $ f'(x) = 0 $，找出所有临界点，这些点可能是单调区间的分界点。 |
| 5. 划分区间 | 根据临界点将定义域划分为若干个子区间。 |
| 6. 判断每个区间的单调性 | 在每个子区间内任取一个点，代入导数中判断其符号，从而确定该区间的单调性。 |
| 7. 写出结论 | 综合各区间的结果，写出函数的单调区间。 |
三、注意事项
- 导数不存在的点也可能是单调性的分界点，应特别关注。
- 对于复杂函数（如分段函数、绝对值函数等），需分段讨论其单调性。
- 单调性是局部性质，不能仅凭一个点或一段区间来判断整个定义域的单调性。
四、示例说明
以函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 为例：
1. 定义域为 $ (-\infty, +\infty) $
2. 求导得 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $
3. 解方程 $ 3x^2 - 3 = 0 $ 得 $ x = \pm 1 $
4. 划分区间为 $ (-\infty, -1) $、$ (-1, 1) $、$ (1, +\infty) $
5. 分别代入导数：
- 在 $ (-\infty, -1) $ 上，$ f'(x) > 0 $，单调递增；
- 在 $ (-1, 1) $ 上，$ f'(x) < 0 $，单调递减；
- 在 $ (1, +\infty) $ 上，$ f'(x) > 0 $，单调递增。
因此，函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 在 $ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上单调递增，在 $ (-1, 1) $ 上单调递减。
通过以上步骤和方法，可以系统地判断函数的单调性，为后续的函数分析和应用打下坚实基础。