核心结论：若 n 阶方阵 A 可逆，A 的特征值为λ1,λ2,…,λn，行列式∣A∣，那么伴随矩阵A∗的特征值就是λi∣A∣（i=1,2,…,n）。推导依据是公式AA∗=∣A∣E，如果Aξ=λξ，两边推导可以得到A∗ξ=λ∣A∣ξ，说明同一个特征向量ξ对应的伴随矩阵特征值就是∣A∣/λ。做题的时候优先记住这个公式，绝大多数考研线性代数题目都是用这个结论，不需要直接去求A∗再算特征多项式。
核心公式
前提：A 可逆，λ=0
A∗特征值：μ=λ∣A∣
推导步骤
- 已知 Aξ=λξ，ξ是 A 属于λ的特征向量
- 伴随矩阵恒等式：AA∗=∣A∣E
- 两边左乘A∗：A∗Aξ=∣A∣ξ
- 代入Aξ=λξ，得到 λA∗ξ=∣A∣ξ
- 因为 A 可逆，λ=0，两边除以λ： A∗ξ=λ∣A∣ξ
- 所以A∗的特征值为λ∣A∣，特征向量和 A 保持一致
分情况说明
表格
| 情况 | 处理方式 | ||
|---|---|---|---|
| A 可逆（所有λi=0） | 直接使用 $\mu_i=\dfrac { | A | }{\lambda_i}$ |
| A 不可逆，存在λ=0 | 不能直接套除法公式，需要结合秩r(A)判断A∗秩，再分析零特征值重数 |
不可逆补充结论（n 阶）
- 若r(A)=n−1，则r(A∗)=1，A∗有一个非零特征值∑λi，其余全部是 0 特征值
- 若r(A)≤n−2，则r(A∗)=0，也就是A∗是零矩阵，所有特征值都是 0
典型例题思路
例：3 阶矩阵 A 特征值 1，2，3，∣A∣=1×2×3=6
求A∗特征值：
μ1=16=6，μ2=26=3，μ3=36=2
解题操作步骤
第一步：求出矩阵 A 全部特征值λi
第二步：计算行列式∣A∣
第三步：判断 A 是否可逆
第四步：可逆直接代入μi=λi∣A∣得到伴随矩阵全部特征值
第五步：不可逆则根据秩r(A)判断A∗秩，分析零特征值重数
拓展考点
A∗的特征向量和 A 对应λi的特征向量是相同的，这个考点经常和相似、对角化结合出题。
【相关 FAQ】
问题 1，A 的伴随矩阵的特征值怎么求，如果 A 特征值是 2，3，4
回答 1，A 的伴随矩阵的特征值怎么求，先算∣A∣=2×3×4=24，伴随矩阵特征值为 24/2=12，24/3=8，24/4=6。
问题 2，A 的伴随矩阵的特征值怎么求 A 不可逆怎么办
回答 2，A 的伴随矩阵的特征值怎么求，A 不可逆不能直接除法，要根据 r (A) 判断 A的秩，再确定零特征值重数。
问题 3，A 的伴随矩阵的特征值怎么求特征向量一样吗
回答 3，A 的伴随矩阵的特征值怎么求，可逆情况下 A和 A 对应的特征向量是同一个向量。
问题 4，A 的伴随矩阵的特征值怎么求公式来源是什么
回答 4，A 的伴随矩阵的特征值怎么求，公式来自恒等式AA∗=∣A∣E结合特征值定义推导。
【免责申明】
本文内容仅为线性代数知识点备考讲解，适用于本科线性代数与考研数学复习参考。