【特征函数怎么求】在概率论与数理统计中，特征函数是一个非常重要的工具，用于描述随机变量的分布特性。它不仅能够唯一确定一个概率分布，还能方便地进行数学运算和分析。本文将总结如何求解特征函数，并通过表格形式清晰展示不同常见分布的特征函数。
一、什么是特征函数？
特征函数（Characteristic Function）是随机变量的复值函数，定义为：
$$
\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}
$$
其中：
- $ X $ 是随机变量；
- $ t $ 是实数；
- $ i $ 是虚数单位；
- $ \mathbb{E}[\cdot] $ 表示期望。
特征函数可以看作是概率密度函数（PDF）或概率质量函数（PMF）的傅里叶变换，因此它能从频域角度刻画随机变量的分布。
二、如何求特征函数？
求特征函数的基本步骤如下：
1. 确定随机变量的分布类型：如正态分布、泊松分布、指数分布等。
2. 写出对应的概率密度函数（PDF）或概率质量函数（PMF）。
3. 代入特征函数的定义式：
$$
\phi_X(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} f(x) \, dx \quad \text{（连续型）}
$$
或
$$
\phi_X(t) = \sum_{k} e^{itk} P(X=k) \quad \text{（离散型）}
$$
4. 计算积分或求和，得到最终表达式。
三、常见分布的特征函数汇总表
| 分布类型 | 概率密度函数/质量函数 | 特征函数 $ \phi_X(t) $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ e^{i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2} $ |
| 泊松分布 $ \text{Pois}(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $ | $ e^{\lambda (e^{it} - 1)} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x > 0 $ | $ \frac{\lambda}{\lambda - it} $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a < x < b $ | $ \frac{e^{ibt} - e^{iat}}{i t (b - a)} $ |
| 二项分布 $ \text{Bin}(n, p) $ | $ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $ | $ (1 - p + p e^{it})^n $ |
四、小结
特征函数是研究随机变量的重要工具，尤其在处理独立随机变量的和、极限定理等方面具有巨大优势。通过理解各类分布的特征函数形式，可以更高效地进行概率建模与分析。
如果你对某个特定分布的特征函数推导过程感兴趣，也可以进一步探讨其数学推导过程。