【等差等比数列求和公式】在数学中，等差数列与等比数列是两种常见的数列类型，它们的求和公式在数列问题中具有重要的应用价值。掌握这些公式有助于快速计算数列的前n项和，提高解题效率。
一、等差数列求和公式
定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列称为等差数列。这个常数称为公差，记作d。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
前n项和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，$ n $ 是项数。
二、等比数列求和公式
定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列称为等比数列。这个常数称为公比，记作r。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
前n项和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
当 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，此时
$$ S_n = a_1 \cdot n $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。
三、对比总结（表格形式）
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
| 公差/公比 | 记作d | 记作r |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 无特殊限制 | 当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = a_1 \cdot n $ |
四、应用示例
等差数列示例：
已知等差数列首项 $ a_1 = 2 $，公差 $ d = 3 $，求前5项和。
解：
$$ S_5 = \frac{5}{2}[2 \cdot 2 + (5 - 1) \cdot 3] = \frac{5}{2}(4 + 12) = \frac{5}{2} \cdot 16 = 40 $$
等比数列示例：
已知等比数列首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ r = 2 $，求前4项和。
解：
$$ S_4 = 3 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{16 - 1}{1} = 3 \cdot 15 = 45 $$
通过以上内容可以看出，等差数列与等比数列的求和公式各有特点，理解其原理并灵活运用，能够有效提升数学问题的解决能力。